Si sueñas, loterías

Así, de primeras, cuánto diríais que se dejan, de media, los españoles en juegos de azar cada año? Os dejo un rato para que penséis la respuesta, mientras, os voy contando algunas cosas sobre estos juegos.

Me voy a centrar en la lotería, ya que es el juego de azar más famoso y al que posiblemente juegue más gente (dejando de lado las tragaperras). Dice una famosa frase, ahora no recuerdo de quién, que la lotería es el impuesto que tienen que pagar los que no saben matemáticas. Dicho así, suena un poco a sobrada del tipo éste. Pero, ¿tenía razón? Vamos a analizarlo un poco.

Voy a tomar como ejemplo una lotería bien sencilla. 1€ el boleto, 100 boletos, 100€ para el ganador.

• Pfff, menuda mierda de premio.

100.000 boletos, 100.000€ para un único ganador.

• Ahora está mejor.

Vale, qué tiene que pasar para que me sea rentable jugar a esta lotería. Diréis, que te toque. Bien, esa es la parte difícil. La probabilidad de que me toque esta lotería es de 1 entre 100.000. Esto es lo mismo que decir que si juego esta lotería 100.000 veces, de media, me tocará una. ¿Quiere decir ésto que si juego 100.000 veces seguro que me toca una vez? NO.

Vamos a calcular el valor esperado de esta lotería. El valor esperado no es más que lo que ganamos/perdemos cada vez que jugamos, independientemente de que nos toque o no.

VE = 1/100.000 * 99.999€ + 99.999/100.000 * (-1€) = 0€

• Ya empezamos con las formulitas, éstos de números se creen los reyes del mambo.

A ver, a ver. Es fácil. La primera parte de la fórmula 1/100.000 * 99.999€ es la parte que mola, que es cuando nos toca. 1 de cada 100.000 (=1/100.000) veces ganamos 99.999€ (100.000€ de premio menos el euro del boleto). La segunda ya no mola tanto, 99.999 veces de cada 100.000 no nos toca nada y perdemos el euro. Aún así, vemos con el valor esperado de esta lotería es igual a 0. Como ya he explicado antes, esto no es más que decir que cada vez que jugamos a esta lotería estamos ganando 0€ de media.

Ahora bien, son todas las loterías como ésta? La respuesta es no.

El estado/ empresa que organiza la lotería no reparte todo el dinero recaudado. En la realidad se puede ver como, dependiendo de la lotería, esta cifra se mueve entorno al 50 - 70% (creo) de lo recaudado, más o menos.

Siguiendo con el ejemplo anterior, el premio estaría entre los 50 y los 70.000€. Vamos a suponer que esta lotería es muy generosa y reparte el 70% de lo recaudado, así pues el premio sería de 70.000€ para el boleto ganador.

VE= 1/100.000 * 69.999€ + 99.999/100.000 * (-1€) = -0,3€ → -30 céntimos de €.

Vaya. En este nuevo escenario más realista podemos ver como cada vez que jugamos a esta lotería estamos tirando 30 céntimos a la basura. Podéis calcular vosotros mismos el valor esperado que tienen todas las loterías a las que jugáis/ conocéis. Descubriréis como todas, absolutamente todas, lo tienen negativo. Unas más y otras menos, pero todas negativo.

• Ya, ya, pero... ¿y si toca?

Repito, en esa lotería del ejemplo, estamos perdiendo 30 céntimos de media cada vez que jugamos, también cuando ganamos.

• Si, díselo a mi vecino cuando le tocaron 300.000€ en la primitiva.

Díselo a tu otro vecino que lleva dos vidas y media jugando y nunca le ha tocado nada. Hay que ver este análisis de una forma puramente numérica. Jugar a la lotería es, matemáticamente hablando, un error. Así de simple. Entonces, ¿por qué la gente se deja la pasta jugando a la lotería?

La respuesta más común que da alguien que juega de manera más o menos continuada es:

• Bueno, ya se que es difícil que me toque, pero a mi me da igual gastarme 2€ (o 5€, o 10€) a la semana, voy a seguir viviendo igual, pero sin embargo si me toca la millonada me jubilo mañana mismo.

Voy a intentar explicar esta respuesta de una forma más o menos formal.

Existe algo en economía llamado función de utilidad. Ésto, no es más que algo se inventó con el fin de poder explicar cuan “feliz” hace algo a alguien. Me explico con un ejemplo.

¿Cuánto de “felices” sois (o, a partir de ahora, cuánta utilidad os da) el hecho de encontraros una entrada para el próximo concierto de Justin Bieber? Pues, seguramente, si sois personas normales, bastante poca. Sin embargo, si sois una belieber de éstas locas, os proporcionará una utilidad gigante. En este caso, la persona normal y la belieber tienen una función de utilidad muy diferente para un bien en concreto, en este caso entradas para un concierto de nuestro querido Justin.

Estas funciones se escriben de la siguiente manera. (Me invento los números)

U (entrada concierto mi amado Justin) = 600

U (entrada concierto mi amado Justin) = 100

¿Quién de los dos diríais que representa a la belieber? Efectivamente, la primera. La entrada para el concierto le da una utilidad de 600, mientras que a la persona normal se la da de 100. ¿Qué quiere decir este 100? Pues nada, tiene un carácter puramente ordinal, es decir, por si solo, yo no sé si una utilidad de 100 es mucho o es poco, solo sé que estoy mejor con una de 101 y peor con una de 98.

Igual que para el ejemplo he tomado entradas de concierto, podría haber tomado cualquier otro bien. Ferraris, manzanas, etc. O incluso dinero.

Ahora que ya sabéis lo que es una función de utilidad, os voy a hacer una pregunta. ¿Os da menos utilidad tener 2.000€ que tener 2.001€ en vuestra cuenta corriente? Otra pregunta, ¿os da más utilidad tener 100.000€ de más en el banco? Llamadme mago, pero creo que sé la respuesta a las dos preguntas. La respuesta a la primera pregunta es NO, mientras que para la segunda la respuesta es SÍ.

Ésto explicaría que alguien jugase de forma puntual, ya que la utilidad esperada que se obtendría de la operación (análoga a la del valor esperado) sería un número positivo, y por tanto obtendríamos utilidad de jugar a la lotería. Os pongo el ejemplo.

UE = 1/100.000 * U(69.999€) + 99.999/100.000 * U(-1) > 0

Da positivo porque asumimos que U(-1) = 0, ya que perder ese euro, no nos supone “nada”.

Un factor a tener en cuenta en todo esto es la aversidad/ propensión al riesgo que tiene cada persona. Alguien que rechaza un determinado juego por una cantidad fija menor a la esperanza matemática de éste será una persona aversa al riesgo. Por contra, alguien que rechaza un juego por una cantidad fija mayor a la esperanza matemática de éste será propenso al riesgo. Como es lógico, la aversión/ propensión al riesgo frente a un determinado juego/ lotería estará relacionado con la renta disponible de cada persona. No es lo mismo la pérdida de utilidad que le puede suponer perder 1€ (o 10€, para que nos entendamos) a una persona que tiene una renta baja, que a una rica. 

Volvamos ahora a la pregunta que os formulaba al principio de la entrada. Son datos de 2009, pero para que os hagáis una idea servirá. El gasto anual medio de un español en loterías (ONCE, primitiva, etc.) fue de unos 250€. Cada español, de media, gasta (o gastó en 2009) 250€ al año en lotería.

¿Qué pensáis? ¿Acaso no le supone ninguna utilidad al español medio esos 250€ al año? Realmente me resulta complicado de creer. A lo mejor si esa gente que da como respuesta válida para este gasto semanal insignificante pensase en términos anuales, donde una cantidad como 250€ ya representan algo, se lo pensarían mejor. Fijaos, que el hecho de que ese gasto ya represente algo, hace que la utilidad esperada de jugar ya sea negativa.

• Pero yo no me gasto 250€ anuales, como mucho 50, y para el nivel de ingresos que tengo, voy a vivir igual con esos 50€ anuales de más o de menos.

Aquí está el problema. ¿Hasta qué cifra podemos justifica el gasto realizado con la excusa de “no significa nada”? Daros cuenta que este “no significa nada” lo expresamos en la operación como U(-50€) = 0 (U (-1)= 0 antes), cosa que provoca que la utilidad esperada sea positiva y que por lo tanto no veamos ningún problema en jugar. La respuesta, obviamente, no la sé. No hay ninguna fórmula mágica que te diga el dinero que te puedes gastar en lotería una vez introducidos tus ingresos/ renta.

• Eh, eh! Que no nos has dicho si el tipo ese tenía razón.

Pues, depende. Hay quien diría que sí. Que 1€, por muy poco que sea, siempre va a suponer algo de utilidad. Por muy pequeña que sea. O por mucho que alguien se pueda empeñar en que no le proporciona ninguna utilidad este euro, en realidad si que se la proporciona, aunque él no lo sepa. Pero, siendo un poco más prácticos con la realidad, pues no. No la tiene. Al menos no en la totalidad de su afirmación.