El juego de las 3 puertas

Bienvenidos al nuevo programa de televisión de Mediaset. Es un concurso que emitirán todos los días por la tarde y que tendrá el mejor share de la franja horaria. Se trata de un sencillo concurso en el que hay 3 puertas (A, B y C) que esconden o bien una cabra o el maravilloso coche con el que siempre has soñado. Tu como concursante debes elegir una de las tres puertas y rezar para que no salga una cabra y sí el coche. Eh, espera, ¿He dicho rezar? Esto es un blog de economía, no vamos a rezar, vamos a elevar al máximo nuestras opciones de ganar el coche usando la estadística y el sentido común.

Como acabo de decir, rezar, intuir o creerse brujo, es lo que hacen el 99% de los concursantes. Por suerte hay el otro 1% que usará la cabeza y las matemáticas. Como no puede ser de otra manera, estoy seguro que los maravillosos e inteligentes lectores de este blog estáis en el 1% de los elegidos.

Vayamos al tema, supongamos que somos la persona con más intuición del mundo y sabemos que el coche está escondido en la puerta A, así que elegimos esa puerta. Una vez elegida la opción A, el presentador, que sabe que hay detrás de cada una,  para darle más emoción y suspense al programa nos abre la puerta B, en la que hay una pobre cabra con cara de dónde me han metido. Ahora Jesús Vázquez (sí, siempre ponen el mismo presentador en todos los concursos) nos ofrece la opción de seguir con nuestra opción inicial (A), o por el contrario cambiar a C. Es decir quedan 2 puertas por abrir, por lo tanto a priori es ½ (50%) de probabilidades de ganar el coche, así que debería ser bastante indiferente entre cambiar o no. ERROR.

Hagamos el procedimiento que me tocó hacer en el examen final de Estadística II. Lo cierto es que tenemos 2 opciones: quedarnos con nuestra elección inicial o cambiarla cuando el presentador ya nos ha abierto otra puerta.

¿Qué pasa si nos quedamos con la elección inicial?

• Si al inicio elegimos la puerta del coche, el presentador puede abrir cualquiera de las otras 2 puertas (ya que las dos contienen una cabra). Si NO CAMBIAMOS de puerta cuando el presentador nos lo propone, tenemos ⅓ (33’3 %) de ganar.

• Si por el contrario nuestra elección inicial ha sido una puerta que contiene una cabra, el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta (la cabra restante). Si NO CAMBIAMOS de puerta cuando el presentador hace la propuesta, tenemos ⅔ (66’6%) de perder.

Pero, ¿Qué pasaría si decidimos hacer el cambio cuando el presentador ya ha abierto una puerta que contiene una cabra?

• Si en nuestra primera elección elegimos la puerta del coche (⅓), el presentador puede abrir cualquiera de las 2 puertas restantes, y cuando CAMBIAMOS de puerta perdemos. Tenemos ⅓ de probabilidades de perder.

• Si en nuestra primera elección elegimos una puerta que esconde una cabra (⅔), el presentador sólo puede abrir una de las 2 puertas que quedan, ya que obviamente no mostrará el coche. Entonces si CAMBIAMOS de puerta ganaremos siempre. Tenemos ⅔ de ganar.

En conclusión, si no cambiamos de puerta tenemos ⅓ (33%) de probabilidades de ganar, mientras que si por el contrario decidimos cambiar la puerta cuando el presentador nos lo propone tendremos ⅔ (66%) de probabilidades de ganar. Así que lo que nos conviene es cambiar la puerta, hecho que choca con la previsión inicial de que daba igual ya que intuíamos que era un 50%. Esto es así ya que el presentador sabe qué hay detrás de cada puerta y elige después de nosotros.

Ahora que ya sabéis cómo encontrar las máximas opciones de ganar el estupendo Ferrari rojo, siento deciros que el concurso no se va a estrenar ni en Mediaset, ni Atresmedia, ni en ninguna cadena televisiva. aunque muchos de vosotros habréis visto algún programa parecido. Así que si alguna vez os encontráis en un programa así o en un examen final de Estadística II, no recéis, usad la cabeza.

* El juego se llama el Problema de Monty Hall y sale en varias películas como por ejemplo 21 Black Jack.